Curso Diploma Europeo

Una tarea imposible. La técnica de bootstrapping

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Eso es el bootstrapping. Una idea imposible de llevar a cabo. Además de un palabro intraducible, claro está. El nombre tiene relación con la especie de correas (straps, en inglés) que tienen las botas (boots, también en inglés) en su parte superior, sobre todo esas botas de vaqueros que vemos en las pelí­culas. Bootstrapping es un término que, al parecer, hace referencia a la acción de elevarse a uno mismo del suelo tirando simultáneamente de las correas de las dos botas. Como os dije, una tarea imposible gracias a la tercera ley Newton, el famoso principio de acción y reacción.
Manuel Molina Arias
Servicio de Gastroenterologí­a
Hospital Infantil Universitario La Paz. Madrid

Eso es el bootstrapping. Una idea imposible de llevar a cabo. Además de un “palabro” intraducible, claro está. El nombre tiene relación con la especie de correas (straps, en inglés) que tienen las botas (boots, también en inglés) en su parte superior, sobre todo esas botas de vaqueros que vemos en las pelí­culas. Bootstrapping es un término que, al parecer, hace referencia a la acción de elevarse a uno mismo del suelo tirando simultáneamente de las correas de las dos botas. Como os dije, una tarea imposible gracias a la tercera ley Newton, el famoso principio de acción y reacción. He buscado y rebuscado términos adecuados para traducirlo al castellano, pero no he encontrado ninguno que me agrade, así­ que se admiten sugerencias al respecto.

El bootstrapping es una técnica de remuestreo que se emplea en estadí­stica cada vez con más frecuencia gracias a la potencia de los ordenadores actuales, que permiten hacer cálculos que antes podí­an ser inconcebibles. Quizás su nombre tenga que ver con su carácter de tarea imposible, porque el bootstrapping se utiliza para hacer posibles tareas que podrí­an parecer imposibles cuando el tamaño de nuestras muestras es muy pequeño o cuando las distribuciones están muy sesgadas, como la obtención de intervalos de confianza, de pruebas de significación estadí­stica o de cualquier otro estadí­stico en el que estemos interesados.

Como recordaréis de cuando calculamos el intervalo de confianza de una media, podemos hacer el experimento teórico de obtener múltiples muestras de una población para calcular la media de cada muestra y representar la distribución de las medias obtenidas de las múltiples muestras. Es la llamada distribución de muestreo, cuya media es el estimador del parámetro en la población y cuya desviación estándar es el llamado error estándar del estadí­stico que nos permitirá calcular el intervalo de confianza que deseemos. De esta forma, la extracción de muestras repetidas de la población nos permite hacer descripciones e inferencias estadí­sticas.

Pues bien, el bootstrapping es algo parecido, pero con una diferencia fundamental: las muestras sucesivas se extraen de nuestra muestra y no de la población de la que procede. El procedimiento sigue una serie de pasos repetitivos.

En primer lugar extraemos una muestra a partir de la muestra original. Esta muestra debe extraerse utilizando un muestreo con reposición, de tal forma que algunos elementos no serán seleccionados y otros lo podrán ser más de una vez en cada muestreo. Es lógico, si tenemos una muestra de 10 elementos y extraemos 10 elementos sin reposición, la muestra obtenida será igual a la original, con lo que no ganamos nada.

De esta nueva muestra se obtiene el estadí­stico deseado y se utiliza como estimador de la población. Como este estimador serí­a poco preciso, repetimos los dos pasos anteriores un gran número de veces, obteniendo así­ un número alto de estimaciones.

Ya casi estamos. Con todos estos estimadores construimos su distribución, que llamamos distribución de bootstrap, y que representa una aproximación de la verdadera distribución del estadí­stico en la población. Lógicamente, para esto hace falta que la muestra original de la que partimos sea representativa de su población. Cuánto más se aleje, menos fiable será la aproximación de la distribución que hemos calculado.

Por último, con esta distribución de bootstrap podemos calcular el valor central (el estimador puntual) y sus intervalos de confianza de forma similar a como hací­amos para calcular el intervalo de confianza de una media a partir de la distribución de muestreo.

Como veis, un método ingenioso que a nadie se le ocurrirí­a poner en práctica sin la ayuda de un programa de estadí­stica y un buen ordenador.

Vamos a ver un ejemplo práctico para entenderlo mejor.

Supongamos por un momento que queremos saber cuál es el consumo de alcohol en un grupo determinado de personas. Reunimos 20 individuos y calculamos su consumo de alcohol en gramos semanales, obteniendo los resultados de la Figura 1.

figura1Figura 1

Los datos podemos verlos representados en el histograma de la figura 2. Como veis, la distribución es asimétrica con un sesgo positivo (hacia la derecha). Tenemos un grupo de abstemios o bebedores escasos y una cola representada por los que van teniendo consumos cada vez más altos, que son cada vez menos frecuentes. Este tipo de distribución es muy frecuente en biologí­a.

figura2

Figura 2

En este caso la media no serí­a buena medida de tendencia central, así­ que preferimos calcular la mediana. Para ello, podemos ordenar los valores de menor a mayor y hacer la media entre los que ocupan los lugares décimo y undécimo. Yo me he molestado en hacerlo y sé que la mediana vale (4,77+5)/2 = 4,88.

Ahora bien, a mí­ me interesa saber el valor de la mediana en la población de la que procede la muestra. Con una muestra tan pequeña y tan sesgada no puedo aplicar los procedimientos habituales y no tengo posibilidad de buscar más individuos de la población para hacerles el estudio. En este momento es donde entra en juego el bootstrapping.

Así­ que obtengo 1.000 muestras con reposición de mi muestra original y calculo la mediana de las 1.000 muestras. La distribución de bootstrap de esas 1.000 medianas aparece representada en el histograma de la figura 3. Como puede comprobarse, se parece a una distribución normal, cuya media es 4,88 y cuya desviación estándar es 1,43.

figura3

Figura 3

Bueno, ya podemos calcular nuestro intervalo de confianza para hacer la estimación poblacional. Podemos hacerlo de dos formas. La primera, calculando los márgenes que engloban el 95% de la muestra (calculando los percentiles 2,5 y 97,5) y que veis representados en la figura 4. Yo he utilizado el programa R, pero puede hacerse de forma manual utilizando fórmulas para el cálculo de percentiles (aunque no es muy recomendable, ya que hay 1.000 medianas que ordenar). Así­, obtengo una mediana de 4,88 con un intervalo de confianza del 95% de 2,51 a 7,9.

figura4

Figura 4

La otra forma es recurriendo al teorema central del lí­mite, que no podí­amos usar con la muestra original pero sí­ con la distribución de bootstrap. Sabemos que el intervalo de confianza del 95% será igual a la mediana más menos 1,96 veces el error estándar (que es la desviación estándar de la distribución de bootstrap). Luego:

IC 95 = 4,88 ± 1,96 x 1,43 = 2,08 a 7,68.

Como veis, se parece bastante al que habí­amos obtenido con la aproximación de los percentiles.

Y aquí­ lo dejamos, antes de que alguna cabeza se recaliente demasiado. Para animaros un poco, todo este rollo puede evitarse si se utiliza directamente un programa como R, que calcula el intervalo, y hace el bootstrapping si es necesario, con una instrucción tan sencilla como el comando ci.median() de la librerí­a asbio.

Nada más por hoy. Solo deciros que el bootstrapping es quizás la más famosa de las técnicas de remuestreo, pero no la única. Hay más, algunas también con nombre peculiar como jacknife, pruebas de aleatorización y permutación o prueba de validación cruzada. Pero esa es otra historia…

Bibliografí­a

1.- Gil Flores, J. Aplicación del método bootstrap al contraste de hipótesis en la investigación educativa. Revista de Educación. 2005;336:251-65. (PDF)

2.- Ledesma R. Introducción al bootstrap. Desarrollo de un ejemplo acompañado de software de aplicación. Tutorials in Quantitative Methods for Psychology. 2008;4:51-60. (PDF)

 

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